RV_PCA_팩터모델의 기본 구조와 정의

0. 인트로에서 배운 PCA의 기본 개념과 직관적 설명을 좀더 포멀한 용어로 정의해보는 시간. 

 

1. 시장의 모든 움직임 뒤에 몇가지 핵심적인 메커니즘을 이해하기 위해 수학적으로는 주어진 데이터에서 가장 관련 높은 데이터를 추출 해 내는 것이 필요함

 

 

2. 이게 다시 말하면 '차원축소'. 남아있는 차원들이 대부분의 정보를 가지고 있게 됨. 

 

 

3. 이 과정의 결과로 시장 움직임에 대한 "개수", "강도", "형태"등을 알 수 있게 되는 것. 

 

 

4. t시점에서 n개의 시장 데이터를 관측한다고 생각해보자. 일반적인 k-factor linear model은 아래와 같다 

 

 

 

5.α_i^t 는 i-th factor 라고 하고 시간이 경과함에 따라 변하고 

 

 

6. f 벡터는 시간이 지나도 변하지 않는 벡터로 i-th factor loading이라고 한다. 

 

 

7. 엡실론 벡터는 factor와 factor loading으로 설명되지 않는 잔차가 된다. 

 

 

8. 시간에 따라 변하지 않는 factor loading은 시장의 메커니즘 그 자체라고 생각 할 수 있고

 

 

9. factor는  어느 시점 t에서 시장 메커니즘이 얼마나 강하게 작동하는지를 보여주는 것임. 

 

 

10. 사운드 믹서를 예로 들어보면, 개별 사운드들이 factor loading이 되고 각 사운드의 볼륨이 factor가 되는것임. 

 

 

11. 비슷하게 시장에 대해서 우리는 PCA의 factor loading과 factor를 살펴 봄으로서 시장의 전체적인 움직임을 개별 동인으로 분해하여 알아 볼 수 있게 됨. 

 

 

12. 1~10년 금리의 일드커브를 아래와 같이 모델링 한다고 생각해보자. 이 특정 factor loading은 오로지 커브의 평행이동만 가능하게 함. 현실과 매우 다르고, 이대로 모델링 한다면 큰 잔차를 가지게 될것. 

one factor model

 

 

13. 지금까지는 오로지 마켓 메커니즘이 선형 팩터들로 이루어진다는 가정만 했음. 

 

 

14. 문제는 얼마나 더 가정이 필요하냐는 것인데, 이것에 답하기 위해 팩터모델을 두 가지로 구분. 

 

 

15. 첫 번째 카테고리는 분석가가 직접 factor loading을 정하는 것으로 Nelson-Siegel model 같은 부류가 좋은 예시임. 

 

 

16. 이런 모델의 장점은 factor loading을 적절히 선택했다면 모델이 특성을 잘 나타내줄 것인 반면

 

 

17. 단점은 결과가 실제 시장의 움직임이 아니라 분석가의 가정을 더 반영하게 될 수 있다는 점임. 

 

 

18. NS모델을 예로들면 ,모델이 가정한 커브 모양과 다른 스티프닝/플래트닝 움직임이 나타 날 경우 설명되지 못하고  잔차로 남게 됨. 

 

 

19. 두 번째 카테고리는 factor loading(aka market mechanisms) 에 대해서 분석자가 사전에 가정을 가지고 선택하는 것이 아니라 시장으로부터 추출 하는 방법임

 

 

20. 분석자는 시장이(데이터가) 고유의 다이내믹을 드러내도록 놔두고, 사후적으로 그 factor loading을 해석 하게 됨. 

 

 

21. 우리의 목표는 실제 시장의 코어 움직임을 파악하는 것이지 시장에 대한 어떤 가설을 주입하려는 것이 아님. 

 

 

22. 따라서 두번째 컨셉의 팩터 모델이 우리에게 좀더 적합한 방법이라 할 수 있겠음. 

 

 

23. PCA가 바로 이 두번째 카테고리의 팩터모델 방법론중 가장 유명한 놈으로 

 

 

24. PCA는 시장이 linear uncorrelated factors의 형태 안에서 충분히 자유롭게 메커니즘을 표현하게 함. 

 

 

25. 예를들어 스티프닝 메커니즘은 두번째 팩터로 나타나 시장의 다니내믹을 사전 가정에 맞추는 것이 아니라 있는 그대로 보여주게 될 것이고, 그럼으로서 시장의 움직임은 residual이 아니라 factor loading을 통해 드러나게 될 것임.