0. 행렬은 어떤 벡터를 선형 변환한다.
1. 즉 어떤 벡터에 2x2 행렬을 곱하면 2차원 평면에 벡터를 맵핑 하는 것임.
2. 그래서 공분산 행렬을 통해 어떤 벡터가 공간에서 퍼진 모양을 알 수가 있음. 즉 데이터의 구조를 설명해 주는 행렬.
3. 그러나 공분산 행렬은 전체 데이터의 정보가 모두 들어가 있고 고차원이고 복잡함.
4. 따라서 공분산 행렬의 고유벡터와 고유값을 찾아서 차원을 축소하고 데이터에 대한 인사이트를 뽑아 낼 수 있음.
5. 위에 알아봤던 팩터 모델에 적용해보면 공분산 행렬의 고유벡터는 factor loading이 되는것.
6. 이때 고유 벡터들의 고유값으로 나래비를 세워 보면 첫 번째 고유벡터가 시장 변동의 대부분을 설명하고
7. 그 다음 첫 번째 고유벡터(팩터)가 설명하지 못한 부분 중 일부를 두 번째 고유벡터가 설명하게 된다.
8. PCA에 대한 개념적인 정의를 지금 껏 살펴 보았으니, 이제 PCA가 어떻게 시장의 inner structure relationship을 보여 줄 수 있는지, 그리고 트레이딩에 어떻게 적용 할 수 있는지를 알아볼 것임.
9. 2010/01/04 ~ 2011/10/03의 Bund 2, 5, 7, 10y yield를 예시 데이터로 사용하겠음.
10.위 데이터의 공분산 행렬을 구하면 다음과 같고 밑에 그림과 같이 그래프도 만들어 볼 수 있음. (코드는 생략)
11. 이런 그래프 그려보는게 PCA분석에 필수적인 것은 아니지만 공분산 행렬을 구하고 그려보는 것 만으로도 시장 메커니즘에 대한 상당한 직관을 가질 수 있음.
12. 그 다음 PCA를 통해 시장의 정보를 뽑아낼 수 있으며, 이때 공분산 행렬의 고유벡터는 데이터 시리즈의 구조적인 관계를 나타내고 고유값은 이 팩터들의 상대적인 중요도를 나타냄.
13. 고유값의 상대적인 크기에 따라 팩터를 순서대로 그려보면 아래와 같음.
14. 위 그림을 통해 Bund커브는 첫 번 째 팩터에 의해 90% 이상이 설명되며, 두 개 의 팩터면 거의 다 설명 된다는 것.
15. 다시 말하면 Bund 시장이 주는 모든 정보는 단 2~3개의 팩터로 줄여서 표현이 가능 하다는 뜻.
16. PCA를 이용해 시장의 메커니즘 정보를 뽑아내는 그 다음 스텝은 고유벡터의 shape을 진단하는 것임.
17. 위 데이터에서 고유벡터를 통해 추출한 시장 구조에 대한 정보 해석은 아래와 같은 스킴으로 진행
18. i-th factor를 한 단위 증가 시켰을 때 커브에 어떤 변화가 일어나는가 ?
19. 이 질문에 대한 답을 통해 마켓 메커니즘을 고유벡터의 수학적 표현에서 직관적 언어로 변환 해 주는 것으로 볼 수 있음.
20. 첫 번 째 고유벡터를 증가시켰을 때 일드 커브 전체에 같은 부호의 상승 반응이 일어 나는 것으로 보아 첫 고유벡터는 시장의 direction dynamic을 나타낸다 라고 볼 수 있음.
21. 더 나아가 첫 번째 고유벡터의 모양을 통해 추가적으로 directional move의 모양 또한 알 수 있음.
22. 고유벡터1 을 한단위 증가 시킬 때, 일드커브 전체가 상승 반응 했지만 5y가 가장 크게 증가했는데 이는 방향성 움직임 강도의 변곡점이 5년을 기점으로 형성되어 있다는 뜻이고, 위에 그렸던 공분산 행렬의 3차원 그림과 궤를 같이 하는 결과.
23. 분트 커브의 1993~1997 데이터를 가지고 같은 분석을 해보면 5, 7, 10 테너는 현재 민감도와 비슷한 결과가 나오지만 2년 테너가 5년과 거의 같은 민감도를 보이고 있음.
24. 이는 불스티프닝 되거나 베어플래트닝 되는 시장이었다는 뜻임
25. 전형적으로 중앙은행의 움직임이 시장 일드커브를 움직이는 시장 모습으로, 짧은쪽 금리의 directional move sensitivity가 높게 나타남.
26. 따라서 1990s부터 2011까지 중앙은행의 활동 감소가 2년 금리의 first eigenvector 민감도 감소로 나타나고 있는 것임.
27. 자 공분산 행렬을 구하고 고유벡터를 찾는 이 수학적인 과정이 얼마나 현실 경제의 실질과 맞아 떨어지는지 보자.
28. 아예 그냥 중앙은행 활동에 대해 몰랐다 치더라도, 우리는 PCA결과만 가지고 시장의 구조와(방향성 움직임의 피봇 포인트가 커브 앞쪽에서 중앙으로 바뀌었다는 것) 그 원인을 알 수가 있을 것.
29. 더 나아가 NS model같은 다른 종류의 팩터 모델과 다른점을 주목 할 필요가 있음.
30. 방향성이 시장의 가장 큰 다이내믹 이라는 사전적 가정 없이도 시장이 이 특정 시장 세그먼트는 그런 특징을 갖는다고 알려주고 있는 것임.
31. 또한 NS model의 가정에 따른 평행적 금리 레벨 변화와 다르게, PCA모델은 2*5 bear steep, 5*10 bear flat 되며 움직인 실제 시장의 directional move를 그대로 보여주고 있음.
32. 이제 두 번 째 고유벡터에 대한 해석으로 넘어가보자, 한 단위 상승에 대해 단기 금리는 상승하고 장기금리는 하락한다.
33. 그러므로 두 번 쨰 팩터는 첫 번쨰 팩터가 설명되지 못한 커브를 설명하는 팩터라고 볼 수 있다.
34. 같은 논리로 세 번 째 팩터는 커브의 곡률을 보여주는 팩터다.
35. 이런 결과들은 아주 전형적인 설명임. 항상 이런 것은 아니고 가끔은 합리적인 설명이 안되는 경우도 많다. 그리고 이런 부분에서 PCA가 쓸모없다고 생각 될 수 있다.
36. 그러나 이것 자체가 파라메트릭 팩터 모델과 대비한 장점이다. 적절한 상황이 아니면 사용에 주의를 하게 되는 것이다.
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